第27章 关于影子的计算题
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二零零一年的十月，像是一块受潮了很久的饼干。
咬在嘴里不脆，咽下去也不软，就那么温吞吞、黏糊糊地噎在喉咙口。
市一中的行政楼顶楼，空气似乎比楼下要稀薄一些。
这里是陈拙的新领地。
老赵给的那把黄铜钥匙，不仅仅打开了一扇铁门，更是为陈拙在这个嘈杂的初中校园里，圈出了一块绝对安静的真空地带。
下午四点。
天色有些阴沉，云层压得很低，窗外的法国梧桐树顶显得灰扑扑的。
档案室里没有开灯。
陈拙喜欢这种自然光逐渐消退、昏黄暮色一点点渗透进来的感觉。
这让他觉得自己像是一个蛰伏在洞穴里的动物，安全，且专注。
他坐在那张掉了漆的红木桌前。
桌面上铺开了一张A3大小的白纸，旁边散落着几支已经写干了墨水的晨光笔芯。
空气中弥漫着陈旧纸张特有的酸味，那是几十年积攒下来的知识发酵的味道。
陈拙正在做题。
这是一道立体几何题，一张全国高中数学联赛的复赛卷。
题目描述很简单：
【一个正四面体ABCD，棱长为a。点P在棱AB上运动，点Q在棱CD上运动。求PQ与底面BCD所成角的正切值的取值范围。】
图形在脑子里一闪而过。
正四面体，最完美的柏拉图多面体。
如果是普通的初中生，或者刚接触立体几何的高中生，这时候大概会开始在大脑里旋转这个椎体，试图寻找那个该死的二面角，或者在那儿比划着怎么做垂线，怎么找投影。
陈拙没有比划。
他甚至没有多看那个图形一眼。
他的手很稳，抓起一支黑色的签字笔，在白纸的左上角，熟练地画了一个十字。
建系。
这是他的本能。
在他眼里，空间不是“空”的，空间是被这三条互相垂直的轴线切割、固定的。
没有什么几何问题是坐标系解决不了的。
如果有，那就再引入一个参数方程。
“设底面中心为原点O(0，0，0)……”
陈拙心里默念着，笔尖飞快地落下。
这一招，叫空间解析几何。
这是大学数学的入门工具，但在中学竞赛里，它就是一把重型机枪。
不管题目里的点怎么动，不管那个四面体怎么歪，只要把它钉死在坐标轴上，剩下的就是纯粹的计算。
设P点坐标(x1， y1， z1)，引入参数 t。
设Q点坐标(x2， y2， z2)，引入参数 k。
PQ向量的坐标表示……
法向量……
数量积……
笔尖在纸上划过，发出沙沙的声响。
这声音很密，很急，像是一场急促的雨。
陈拙写得很顺。
他的大脑像是一台精密的处理器，快速地处理着那些带着根号、分母和平方的复杂式子。
√2 / 3a，√6 / 3a……
这些数字在他的笔下不断地拆解、组合、相乘、相消。
十分钟过去了。
白纸被写满了一半。
墨水的味道有些刺鼻。
陈拙感觉自己的手腕稍微有点酸。
这种方法虽然“无敌”，但有一个致命的缺点：
计算量大得惊人。
尤其是当涉及到两个动点的时候，最后推导出来的那个函数解析式，长得像一条蜿蜒的毒蛇。
分母里套着根号，根号里套着平方，平方里还带着参数。
“啧。”
陈拙皱了皱眉，停下笔，甩了甩手腕。
他看着纸上那一大坨黑乎乎的算式。
并没有错。
逻辑严密，推导无误。
只要再解一个关于 t和 k的二元函数极值，答案就出来了。
也就是再算半页纸的事儿。
但他突然觉得有点烦。
这种烦躁不是因为题目难，恰恰相反，是因为题目不难，但麻烦。
就像是让你用勺子把一游泳池的水舀干。
你知道怎么舀，也舀得动，但每一勺下去，除了机械的重复，没有任何新鲜感。
“这就是所谓的硬骨头？”
陈拙有些失望地嘟囔了一句。
他原本以为80年代的竞赛题能给他带来点惊喜，结果也就是考验谁的算力更强、谁更耐烦而已。
他重新握紧笔，准备一鼓作气把那个极值算出来。
暴力破解嘛，讲究的就是一个力大砖飞。
就在他准备落笔的时候，他的目光无意间扫过了手边的一本旧书。
那是他刚才为了找题，随手从书架角落里抽出来的一本发黄的线装书。
书名模糊不清，封皮都快掉了，像是某位老教师当年的备课笔记，或者是当年集训队的内部交流资料。
书是摊开的。
好巧不巧，那一页的角落里，画着一个和陈拙现在做的题目一模一样的图。
正四面体。
两个动点。
陈拙的动作停滞了一下。
他好奇地凑过去，想看看当年的前辈是怎么建坐标系的。
是不是有什么更简便的建系方法？
比如利用对称性？
然而。
当他的目光落在那个图形旁边的时候，他愣住了。
那旁边没有坐标系。
没有x，没有y，没有z。
甚至没有算式。
那里的空白处，用蓝色的钢笔水，潦草地画了一个很奇怪的图。
那是一个正方形。
正方形里面套着那个正四面体的投影。
旁边写了一行字，字迹飘逸，透着一股子漫不经心的随意：
【把它补成一个正方体。P和Q，不过就是正方体两个面上的蚂蚁。投影一下，一眼可见。】
下面还有一句更简短的批注：
【别算，用眼看。】
陈拙盯着那行字。
“别算，用眼看？”
他下意识地推了推眼镜，眉头锁得更紧了。
这算什么解法？
补成正方体？
他在脑子里试着构建了一下。
正四面体确实可以内接于一个正方体，这是个经典的几何模型。
但是……
就算补成了正方体，P和Q还是动点啊。
还是要算距离，算角度啊。
怎么可能一眼可见？
陈拙并不觉得这行字是错的。
能写在集训队讲义上，肯定有它的道理。
但他觉得这种方法很险。
数学是应该是严谨的，是逻辑的堆砌，是方程的求解。
一眼可见这种词，属于文学，不属于数学。
他摇了摇头，把那本旧书推到一边。
“太依赖直觉了。”
陈拙在心里给出了评价。
这种补形法或者是投影法，往往是针对某一道特定题目的巧合。
如果题目稍微变一下呢？如果不是正四面体，是歪四面体呢？
然后低下头，继续在这个被坐标轴锁死的牢笼里，为了那个二元函数的极值而奋斗。
笔尖再次在纸上划动。
沙沙沙。
沙沙沙。
计算还在继续。
根号被打开，平方被合并，参数被消去。
终于。
又过了十五分钟。
陈拙长出了一口气。
算出来了。
答案是一个区间。
[0，√2/2]。
他把钢笔扔在桌上，看着那张写满了密密麻麻算式的A3纸。
这就是战果。
这就是力量。
虽然过程繁琐，虽然手腕酸痛，但这就是绝对正确的答案。
陈拙靠在椅背上，看着天花板，试图享受一下解题后的快感。
但是。
那种快感并没有如期而至。
反倒是刚才那本旧书上的那行潦草的字，像是一只苍蝇一样，在他脑子里嗡嗡乱飞。
【别算，用眼看。】
陈拙烦躁地坐直身子。
他又把那本旧书扯了过来。
他盯着那个简陋的草图。
正方体。
投影。
“怎么看？”
陈拙在心里反问那个看不见的对手。
“光凭看，你能看出根号二？你能看出正切值？”
在他的视野里，图形是由线条组成的，线条是由点组成的，点是由坐标定义的。
离开了坐标，图形就是一团模糊的影子，不可捉摸，不可信任。
他合上书。
把那张写满算式的纸折好，夹进书里。
就像是用自己的正确，封印了那个话语。
他再次确认了自己的判断。
然后收拾书包，起身离开。
档案室的铁门哐当一声关上。
走廊里空荡荡的，只有陈拙的脚步声在回荡。
他走得很稳。
但他自己没发现，他的脚步比平时稍微沉重了一点点。
就像是鞋子里进了一粒极其微小的沙子。
不硌脚。
但是有一种异样的感觉。
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咬在嘴里不脆，咽下去也不软，就那么温吞吞、黏糊糊地噎在喉咙口。
市一中的行政楼顶楼，空气似乎比楼下要稀薄一些。
这里是陈拙的新领地。
老赵给的那把黄铜钥匙，不仅仅打开了一扇铁门，更是为陈拙在这个嘈杂的初中校园里，圈出了一块绝对安静的真空地带。
下午四点。
天色有些阴沉，云层压得很低，窗外的法国梧桐树顶显得灰扑扑的。
档案室里没有开灯。
陈拙喜欢这种自然光逐渐消退、昏黄暮色一点点渗透进来的感觉。
这让他觉得自己像是一个蛰伏在洞穴里的动物，安全，且专注。
他坐在那张掉了漆的红木桌前。
桌面上铺开了一张A3大小的白纸，旁边散落着几支已经写干了墨水的晨光笔芯。
空气中弥漫着陈旧纸张特有的酸味，那是几十年积攒下来的知识发酵的味道。
陈拙正在做题。
这是一道立体几何题，一张全国高中数学联赛的复赛卷。
题目描述很简单：
【一个正四面体ABCD，棱长为a。点P在棱AB上运动，点Q在棱CD上运动。求PQ与底面BCD所成角的正切值的取值范围。】
图形在脑子里一闪而过。
正四面体，最完美的柏拉图多面体。
如果是普通的初中生，或者刚接触立体几何的高中生，这时候大概会开始在大脑里旋转这个椎体，试图寻找那个该死的二面角，或者在那儿比划着怎么做垂线，怎么找投影。
陈拙没有比划。
他甚至没有多看那个图形一眼。
他的手很稳，抓起一支黑色的签字笔，在白纸的左上角，熟练地画了一个十字。
建系。
这是他的本能。
在他眼里，空间不是“空”的，空间是被这三条互相垂直的轴线切割、固定的。
没有什么几何问题是坐标系解决不了的。
如果有，那就再引入一个参数方程。
“设底面中心为原点O(0，0，0)……”
陈拙心里默念着，笔尖飞快地落下。
这一招，叫空间解析几何。
这是大学数学的入门工具，但在中学竞赛里，它就是一把重型机枪。
不管题目里的点怎么动，不管那个四面体怎么歪，只要把它钉死在坐标轴上，剩下的就是纯粹的计算。
设P点坐标(x1， y1， z1)，引入参数 t。
设Q点坐标(x2， y2， z2)，引入参数 k。
PQ向量的坐标表示……
法向量……
数量积……
笔尖在纸上划过，发出沙沙的声响。
这声音很密，很急，像是一场急促的雨。
陈拙写得很顺。
他的大脑像是一台精密的处理器，快速地处理着那些带着根号、分母和平方的复杂式子。
√2 / 3a，√6 / 3a……
这些数字在他的笔下不断地拆解、组合、相乘、相消。
十分钟过去了。
白纸被写满了一半。
墨水的味道有些刺鼻。
陈拙感觉自己的手腕稍微有点酸。
这种方法虽然“无敌”，但有一个致命的缺点：
计算量大得惊人。
尤其是当涉及到两个动点的时候，最后推导出来的那个函数解析式，长得像一条蜿蜒的毒蛇。
分母里套着根号，根号里套着平方，平方里还带着参数。
“啧。”
陈拙皱了皱眉，停下笔，甩了甩手腕。
他看着纸上那一大坨黑乎乎的算式。
并没有错。
逻辑严密，推导无误。
只要再解一个关于 t和 k的二元函数极值，答案就出来了。
也就是再算半页纸的事儿。
但他突然觉得有点烦。
这种烦躁不是因为题目难，恰恰相反，是因为题目不难，但麻烦。
就像是让你用勺子把一游泳池的水舀干。
你知道怎么舀，也舀得动，但每一勺下去，除了机械的重复，没有任何新鲜感。
“这就是所谓的硬骨头？”
陈拙有些失望地嘟囔了一句。
他原本以为80年代的竞赛题能给他带来点惊喜，结果也就是考验谁的算力更强、谁更耐烦而已。
他重新握紧笔，准备一鼓作气把那个极值算出来。
暴力破解嘛，讲究的就是一个力大砖飞。
就在他准备落笔的时候，他的目光无意间扫过了手边的一本旧书。
那是他刚才为了找题，随手从书架角落里抽出来的一本发黄的线装书。
书名模糊不清，封皮都快掉了，像是某位老教师当年的备课笔记，或者是当年集训队的内部交流资料。
书是摊开的。
好巧不巧，那一页的角落里，画着一个和陈拙现在做的题目一模一样的图。
正四面体。
两个动点。
陈拙的动作停滞了一下。
他好奇地凑过去，想看看当年的前辈是怎么建坐标系的。
是不是有什么更简便的建系方法？
比如利用对称性？
然而。
当他的目光落在那个图形旁边的时候，他愣住了。
那旁边没有坐标系。
没有x，没有y，没有z。
甚至没有算式。
那里的空白处，用蓝色的钢笔水，潦草地画了一个很奇怪的图。
那是一个正方形。
正方形里面套着那个正四面体的投影。
旁边写了一行字，字迹飘逸，透着一股子漫不经心的随意：
【把它补成一个正方体。P和Q，不过就是正方体两个面上的蚂蚁。投影一下，一眼可见。】
下面还有一句更简短的批注：
【别算，用眼看。】
陈拙盯着那行字。
“别算，用眼看？”
他下意识地推了推眼镜，眉头锁得更紧了。
这算什么解法？
补成正方体？
他在脑子里试着构建了一下。
正四面体确实可以内接于一个正方体，这是个经典的几何模型。
但是……
就算补成了正方体，P和Q还是动点啊。
还是要算距离，算角度啊。
怎么可能一眼可见？
陈拙并不觉得这行字是错的。
能写在集训队讲义上，肯定有它的道理。
但他觉得这种方法很险。
数学是应该是严谨的，是逻辑的堆砌，是方程的求解。
一眼可见这种词，属于文学，不属于数学。
他摇了摇头，把那本旧书推到一边。
“太依赖直觉了。”
陈拙在心里给出了评价。
这种补形法或者是投影法，往往是针对某一道特定题目的巧合。
如果题目稍微变一下呢？如果不是正四面体，是歪四面体呢？
然后低下头，继续在这个被坐标轴锁死的牢笼里，为了那个二元函数的极值而奋斗。
笔尖再次在纸上划动。
沙沙沙。
沙沙沙。
计算还在继续。
根号被打开，平方被合并，参数被消去。
终于。
又过了十五分钟。
陈拙长出了一口气。
算出来了。
答案是一个区间。
[0，√2/2]。
他把钢笔扔在桌上，看着那张写满了密密麻麻算式的A3纸。
这就是战果。
这就是力量。
虽然过程繁琐，虽然手腕酸痛，但这就是绝对正确的答案。
陈拙靠在椅背上，看着天花板，试图享受一下解题后的快感。
但是。
那种快感并没有如期而至。
反倒是刚才那本旧书上的那行潦草的字，像是一只苍蝇一样，在他脑子里嗡嗡乱飞。
【别算，用眼看。】
陈拙烦躁地坐直身子。
他又把那本旧书扯了过来。
他盯着那个简陋的草图。
正方体。
投影。
“怎么看？”
陈拙在心里反问那个看不见的对手。
“光凭看，你能看出根号二？你能看出正切值？”
在他的视野里，图形是由线条组成的，线条是由点组成的，点是由坐标定义的。
离开了坐标，图形就是一团模糊的影子，不可捉摸，不可信任。
他合上书。
把那张写满算式的纸折好，夹进书里。
就像是用自己的正确，封印了那个话语。
他再次确认了自己的判断。
然后收拾书包，起身离开。
档案室的铁门哐当一声关上。
走廊里空荡荡的，只有陈拙的脚步声在回荡。
他走得很稳。
但他自己没发现，他的脚步比平时稍微沉重了一点点。
就像是鞋子里进了一粒极其微小的沙子。
不硌脚。
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